Составление инвестиционного портфеля по Марковицу — 2

Составление инвестиционного портфеля по Марковицу — 2. Российский рынок

Составление инвестиционного портфеля по Марковицу - 2. Российский рынок

В данном обзоре мы представим простой пример составления оптимального инвестиционного портфеля по Марковицу на примере российских акций.

Введение в портфельную теорию

Портфельная теория Марковица была обнародована в 1952 году. Позже автор получил за нее Нобелевскую премию.

Целью модели является составление оптимального портфеля, то есть с минимальным риском и максимальной доходностью.

Как правило, решается две задачи: максимизация доходности при заданном уровне риска и минимизация риска при минимально допустимом значении доходности.

Доходность портфеля измеряется как средневзвешенная сумма доходностей входящих в него бумаг.

wi — доля инструмента в портфеле;

ri — доходность инструмента.

Риск отдельного инструмента оценивается  как среднеквадратичное (стандартное) отклонение его доходности. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить совокупное изменение рисков отдельного инструмента и их взаимное влияние (через ковариации и корреляции – меры взаимосвязи).

σi – стандартное отклонение доходностей инструмента;

kij – коэффициент корреляции между I,j-м инструментом;

Vij – ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n – количество финансовых инструментов в рамках портфеля.

Таким образом, в рамках правильно подобранного портфеля риски снижаются за счет обратной корреляции инструментов. При этом устраняются не только специфические риски инструмента, но и снижается систематический (рыночный) риск.

Для составления портфеля решается оптимизационная задача. При этом в базовом виде использование заемных средств не предполагается, то есть сумма долей активов равняется единице, а доли эти положительны.

Минимизируем риск при минимально допустимом уровне доходности

Максимизируем доходность при заданном уровне риска

Пример расчетов в Excel

Оптимальный портфель содержит различные группы активов – акции, облигации, товарные фьючерсы и т.д. Так легче подобрать инструменты с отрицательной корреляцией и минимизировать риски.

В нашем примере будет использован более простой подход – составление портфеля из нескольких российских акций. Для этого возьмем бумаги 5 крупных эмитентов с наибольшей форвардной дивидендной доходностью (прогноз экспертов БКС Брокер): Норникель, Северсталь, НЛМК, МТС (присутствуют санкционные риски), ЛСР.

Сразу отмечу, что это лишь пример. Для грамотного составления портфеля необходимо учитывать фундаментальные показатели, включая рыночные мультипликаторы, оценивать технические уровни для входа в позицию.

Этап 1. Выкачиваем котировки. Необходимо взять данные минимум за год. В нашем примере были взяты ежемесячные цены закрытия с 31.05.2017 по 26.06.2018.

Для учета дивидендного фактора указываем выплаты, которые можно взять из дивидендного календаря БКС Экспресс. Чтобы включить годовые дивиденды ЛСР, берем данные за 13 месяцев.

Для увеличения кликните по таблице


Этап 2. Считаем доходности по каждой бумаге с учетом дивидендов.

Считаем доходность за каждый месяц по формуле натурального логарифма. К примеру, доходность Норникеля за май 2018 = LN(B14/B13)

В те месяцы, когда были выплачены дивиденды, добавляем их в числитель. К примеру, доходность Норникеля за октябрь 2017 = LN((B7+C7)/B6)

Для расчета ожидаемой доходности берем среднее значение за рассматриваемый период. В нашем случае это год. Ожидаемая доходность Норникеля = СРЗНАЧ(L3:L15)

Получаем близкую к нулю доходность ЛСР, и убираем бумагу из портфеля. Сразу отмечу, что в этом заключается недостаток модели, ведь просевшие ранее акции в перспективе могут развернуться.

Доходность МТС ниже по сравнению с оставшимися в выборке бумагами, а риск выше. Однако оставим МТС для «чистоты эксперимента».

Этап 3. Расчет риска каждой акции. Производится по формуле стандартного отклонения. К примеру, риск Норникеля =СТАНДОТКЛОН(L3:L15)

Этап 4. Расчет ковариаций между бумагами. Воспользуемся специальной надстройкой в Excel. Для этого выберем в Главном меню → «Данные» → «Анализ данных» → «Ковариация».

Указываем окне входной интервал — ежемесячные доходности акций, а в опции «Группирование» выбираем «по столбцам».

В результате получаем ковариационную матрицу.

 

Этап 5. Расчет общей доходности портфеля.

Для начала установим произвольные доли бумаг в портфеле. Они положительны, их сумма равна 1. Считаем средневзвешенное значение доходностей отдельных акций. Воспользуемся формулой J26*L16+K26*M16+L26*N16 

Этап 6. Расчет общего риска портфеля. Производится по формуле массива КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(J26:M26;J22:M25); H22:H25))

Этап 7. Портфель минимального риска.

Речь идет о долях отдельных бумаг в портфеле. Для начала необходимо определить минимальный уровень допустимой доходности портфеля (rp). Возьмем rp >= 3,4%.

При оценке долей акций воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений», для этого выбираем Главное меню → «Данные» → «Поиск решений».

В надстройке «Поиск решений» необходимо ввести ссылку на ячейку, которую следует оптимизировать (общий риск портфеля, минимизируем), ввести какие параметры, которые необходимо изменять (доли акций), и ограничения. Введем ограничения на весовые значения коэффициентов у акций: сумма долей акций должна быть равна 1 и сами доли должны иметь положительный знак.

В результате имеем портфель с 43% долей Северстали и 57% долей НЛМК.

Визуально портфель выглядит так:

Этап 8. Портфель максимальной доходности.

Для начала необходимо определить максимальный уровень допустимого риска портфеля (σp). Возьмем σp <= 5%.

В надстройке «Поиск решений» меняем оптимизируемую ячейку на доходность  портфеля, ее максимизируем. Меняем ограничение – теперь ограничиваем риск.

В результате имеем портфель на 100% состоящий из акций НЛМК. Так произошло из-за того, что Норникель, Северсталь и НЛМК имеют практически одинаковый показатель риска, но НЛМК имеет более высокую доходность.

Получается, что результаты расчетов предполагают лишь 1 бумагу в портфеле. Это не очень правильно с точки зрения диверсификации. Но не забываем, что перед нами не рекомендация, а лишь пример. В своих расчетах вы можете включить в выборку другие акции, возможно большее их число. Как результат, появится шанс для формирования более сбалансированного портфеля.

Сильные стороны модели Марковица

• Систематизация подхода к формированию портфеля.

• Относительная простота модели. Расчеты может провести любой инвестор в общедоступной программе Excel.

Слабые стороны модели Марковица

• Основная предпосылка модели – эффективные рынки капитала, где действуют рациональные агенты, а значит, не может быть продолжительных иррациональных движений. В реалиях российского рынка не забываем про геополитические риски. Впрочем, они малопрогнозируемы.

• Будущая доходность основывается только на историческом значении доходностей бумаг и не включает влияние макро- и микро- и поведенческих факторов. В реальном мире если акция долго падала, то ожидаемая доходность скорее будет положительной.

• Риск финансового инструмента оценивается с помощью среднеквадратичного отклонения. Однако позитивное изменение доходности выше среднего по факту не является риском.

Оксана Холоденко, эксперт БКС Брокер